Множество Действительных Чисел

Определение действительных чисел

Рациональные числа объединяют в себе целые числа и дробные числа. А действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда сформулируем определения различных видов чисел:

Рациональное число

— это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Множество рациональных чисел —

Иррациональное число

— это число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби

m/n

. Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Примеры иррациональных чисел —

Множество действительных (вещественных) чисел

состоит из множества рациональных и множества иррациональных чисел. Оно обозначается буквой а также его можно записать как (-∞; +∞). Можно записать так, что есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел:

Примеры действительных чисел:

Действительные числа могут быть как положительными, так и отрицательными, а также нулем.

При помощи действительных чисел можно описать величины, значения которых могут изменяться непрерывно. Проще говоря, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное значение этой величины.

Действительные числа на координатной прямой

Координатная прямая

— это прямая с заданным началом отсчета, единичным отрезком и направлением.

Действительные числа заполняют каждую точку координатной прямой.

Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число — координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

взаимно однозначное соответствие

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Представления действительных чисел

По определению действительными числами являются:

  • любое натуральное число;

  • любое целое число;

  • любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);

  • любое смешанное число;

  • любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Часто можно встретить действительные числа в виде корней, степеней, логарифмов и др. Кроме того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.

Также из действительных чисел с помощью арифметических действий, корней, степеней, логарифмических, тригонометрических функций можно составлять числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и будут действительными числами.

Сравнение действительных чисел

На множестве действительных чисел справедливы формулы сокращенного умножения и привычные нам законы математики. Например: — это было справедливо на множестве рациональных чисел, но все это справедливо и на множестве действительных чисел.

Последние новости:  Дудя поставили на место.

— все эти законы справедливы на множестве действительных чисел.

Любые действительные числа можно сравнивать. Из двух действительных чисел

a

и

b

большим считается то, которое расположено правее на координатной прямой. Для того, чтобы определить, какое число будет правее, можно вычислить их разность.

Число

a

считается больше числа

b

, если разность a − b > 0.

Аналогично

a

меньше

b

тогда и только тогда, когда разность a − b < 0.

Примеры:

сравнения действительных чисел

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

  1. Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
  2. Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа — это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 

 6 458 1863 578 38 265 1453 log512

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел — вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

  1. Натуральные числа.
  2. Целые числа.
  3. Десятичные дроби.
  4. Обыкновенные дроби.
  5. Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами. 

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений 

sin23π·e285·10log32

 и 

tg6766938π32

  — действительные числа.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

  • Определение действительного числа
  • Сложение действительных чисел
  • Вычитание действительных чисел
  • Умножение действительных чисел
  • Деление действительных чисел
  • Свойства операции сложения действительных чисел
  • Свойства операции умножения действительных чисел

Определение действительного числа

Действительными

или

вещественными числами

называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.

Множество действительных чисел объединяет в себе множестворациональных ииррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел $R$ .

Например.

 $frac{2}{3} ; 0,754 ;-23 ;-frac{5}{4} ; 113 ;-sqrt[3]{2} ;-2,34 ; frac{1}{pi}$- все это действительные числа.

На множестве действительных чисел можно ввести четыре арифметические операции:сложение,вычитание,умножение иделение.

Сложение действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое суммой этих чисел. При этом

Последние новости:  Какие диеты и упражнения НЕ помогут похудеть?

Свойства операции сложения действительных чисел

  1. Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$

  2. Ассоциативный закон сложения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$

  3. Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа $a$

  4. Для любого числа $a$ существует число, обозначаемое $(-a)$, такое, что

    число $(-a)$ называется

    противоположным

    числу $a$ ;

Вычитание действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ число $c=a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$, и обозначается

Задание.

Найти сумму и разность действительных чисел $23$ и $12,4$

Решение.

Сумма заданных чисел равна $23+12,4=35,4$

Ответ.

Умножение действительных чисел

На множестве действительных чисел определена операция называемая умножением. Для любых двух действительных чисел$a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое их произведением и обозначаемая

Свойства операции умножения действительных чисел

  1. Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$

    a cdot b=b cdot a$$

  2. Ассоциативный закон умножения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$

    a cdot b) cdot c=a cdot(b cdot c)$$

  3. Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа $a$

    a cdot 1=1 cdot a$$

  4. Для любого числа $a$, отличного от нуля, существует число, обозначаемое $$(1 / a)$$, такое, что

    a cdot frac{1}{a}=frac{1}{a} cdot a=1$$

    число $$(1 / a)$$ называется обратным числу $a$ ;

Деление действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ ( $b$ отлично от нуля) существует число $c$

c=a cdot frac{1}{b}$$

называется частным от деления числа $a$ на $b$, и обозначается

Множество Действительных Чисел

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание.

Найти произведение и частное действительных чисел $1,2$ и $5$

Решение.

Произведение заданных чисел равно $1,2 cdot 5=6$

Частное: $1,2 : 5=1,2 cdot frac{1}{5}=1,2 cdot 0,2=0,24$

Ответ.

1,2 cdot 5=6$

1,2 : 5=0,24$

Операции сложения и умножения действительных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

a+b) cdot c=a cdot c+b cdot c$$

Читать дальше: что такое четное число.

·  повторитьвсе изученные ранее множества чисел;

·  вспомнить,что множество действительных чисел является объединением множеств рациональныхи иррациональных чисел;

· вспомнить, что множество рациональных чисел включает множество целых чисел ивсе дроби, кроме бесконечных непериодических.

Сначалавспомним, что понимают под словом множество в математике.

Определение

Множество

— это совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку.

Множествопринято обозначать заглавной латинской буквой.

Выже помните, что множество чисел, которые используются для счёта, называютмножеством натуральных чисел и обозначают буквой N.

Самоевремя, говоря о множестве натуральных чисел, вспомнить понятие числовогомножества.

Определение.

Числовоемножество

– множество, элементами которого являются числа.

Элементымножества записывают в фигурных скобках. Так элементами множества натуральныхчисел, являются числа 1, 2, 3 и так далее.

Определение.

Мыс вами ранее говорили о множестве целых чисел. Оно состоит из натуральныхчисел, чисел противоположных натуральным и нуля.

Хорошовидно, что каждый элемент множества натуральных чисел принадлежит множествуцелых чисел. То есть множество Nявляетсяподмножеством множества Z.

Сейчасвернёмся к одному из рассмотренных ранее способов представления обыкновеннойдроби в виде десятичной.

Мыс свами при повторении этого вопроса рассматривали 3 примера, в которыхполучили конечную десятичную дробь и бесконечные периодические десятичныедроби.

Новам известно ещё и о существовании бесконечных непериодических десятичныхдробей.

Этобесконечная десятичная дробь, в которой нет периода. В качестве примера такойдроби можно привести хорошо известное вам число π.

Такмножество бесконечных непериодических дробей составляет множество

иррациональных

чисел.

Всвою очередь множество

рациональных

чисел содержит в себе множествоцелых чисел, конечных десятичных дробей и бесконечных периодических дробей.

Понятно,что любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби сознаменателем 1. Также вы знаете, как любую конечную десятичную дробь и любуюбесконечную периодическую десятичную дроби можно представить в видеобыкновенной.

Тогдаможно дать такое определение рациональному числу.

Определение.

Рациональноечисло

– число, которое можно представить в виде дроби, гдечислитель является целым числом, а знаменатель — натуральным.

Рациональныеи иррациональные числа в совокупности составляют множество действительныхчисел.

Изэтих иллюстраций видно, что множество Z целых чисел является подмножествоммножества рациональных чисел. А множество рациональных чисел являетсяподмножеством множества действительных чисел.

Иранее мы говорили, что множество натуральных чисел является подмножествоммножества целых чисел

Мыговорили, что любую конечную десятичную дробь и любую бесконечную периодическуюдесятичную дроби всегда можно представить в виде обыкновенной.

Сконечной десятичной дробью сложностей не должно возникать, мы на предыдущихуроках рассматривали такие случаи.

Авот правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную стоитнапомним. Рассмотрим его подробнее.

Выполнимнесколько заданий, где и применим знания о множествах чисел.

Пример

Пример

Пример

Пример

Теперьвернёмся к понятию множества и подробнее поговорим о пересечении и объединениимножеств.

Определение.

Объединением(или суммой) множеств А и Вназывается

множество, состоящее из элементов,каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.

Определение.

Пересечением(или произведением) множеств А и В называется

множество, состоящее изэлементов, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству Водновременно.

Пользуясьэтими определениями найдём объединение и пересечение множеств натуральных и целыхчисел.

Итак,пересечением данных множеств является множество натуральных чисел, аобъединением — множество целых чисел.

Мыс вами повторили все изученные ранее множества чисел. Множество действительныхчисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел.

Множестворациональных чисел в свою очередь включает множество целых чисел и все дроби,кроме бесконечных непериодических, которые и составляют множествоиррациональных чисел.

Ну,а в множество целых чисел входят натуральные, противоположные натуральным и 0.

Исправедлива такая запись, которая демонстрирует связь всех известных намчисловых множеств.

Оцените статью
( Пока оценок нет )

Андрей Шутько, журналист и репортер Anticwar.ru. Об армии он пишет более 15 лет. Несколько раз он был военным корреспондентом в Афганистане.

andreyshutko7@gmail.com