Маленькая мастерская «Столы & стулья» специализируется на выполнении заказов по изготовлению столов и стульев. В мастерской работают три брата. Каждый из братьев за месяц готов изготовить максимум 40 стульев, однако их желания и возможности по изготовлению столов сильно различаются.

  • Старший брат — на все руки мастер, может делать и столы, и стулья, при этом альтернативная стоимость изготовления 1 стола для него всегда равна 2 стульям.
  • Средний брат тоже может изготавливать и столы, и стулья, однако он принципиально придерживается правила: столы и стулья он будет производить только комплектами — 1 стол и к нему 4 стула. Так и никак иначе!
  • Младший брат не так давно начал работать в мастерской и все никак не научится делать столы, хотя стулья у него получаются не хуже, чем у братьев.
Последние новости:  Человек купил авто, при покупке просто визуально осмотрел. Но в дальнейшем при осмотре на СТО выявились скрытые дефекты которые продавец пи продаже не указал.

а) Покажите на графике в координатных осях $Х$ и $Y$ множество производственных возможностей мастерской, указав на горизонтальной оси $Х$ количество изготавливаемых стульев, а на вертикальной оси $Y$ количество изготавливаемых столов. Объясните логику ваших построений.
б) В мастерскую обратились 3 клиента: Иванов, Петров и Cидоров. Иванов хочет заказать 5 столов и 110 стульев и готов за заказ заплатить 50 тысяч рублей. Петрову нужно 20 столов и 82 стула, за заказ он готов заплатить 70 тысяч рублей. Сидоров очень хочет приобрести 8 столов и 4 стула и готов заплатить 30 тысяч рублей. Очевидно, что выполнить все заказы мастера не смогут, кому-то придется отказать. Исходя из возможностей мастерской, дайте обоснованные рекомендации по организации работы братьев-мастеров на следующий месяц, следуя которым мастерская сможет получить максимальный доход. Покажите решение на графике.

Решение и ответ

а) Множество производственных возможностей мастерской – это многоугольник ABCDEF.

Логика построения этого множества может быть такой:
отрезок FA – мастерская производит только столы, производством занимается только старший брат, максимально он может произвести только 20 столов (точка A);
отрезок АВ – мастерская начинает производить и стулья, производством которых следует заняться среднему брату, при этом растет и количество производимых столов, так как он производит мебель только комплектами – в точке В старший брат делает 20 столов, а средний брат 40 стульев и 10 столов;
отрезок ВС – к производству стульев подключается младший брат, максимально он может произвести 40 стульев, прироста столов уже быть не может – в точке С производится 30 столов и 80 стульев;
отрезок СD – мастерская еще может нарастить производство стульев, но только за счет уменьшения производства столов старшим братом, при этом максимально может быть произведено 120 стульев – точка D;
отрезок DE – если мастерская начнет сокращать производство столов, то прироста производства стульев не будет, так как столы делает только средний брат, а сокращая количество производимых столов, он одновременно сокращает и производство стульев;
отрезок EF – старший и младший брат делают только стулья.

б) Составим таблицу, которая покажет возможности мастерской, связанные с выполнением заказов

заказы только заказ Иванова только заказ Петрова только заказ Сидорова заказ Иванова и Петрова заказ Петрова и Сидорова заказ Иванова и Сидорова заказ Иванова, Петрова и Сидорова
столы
стулья
ожидаемый доход мастерской
возможность выполнения можно можно можно нельзя нельзя можно нельзя

Возможность одновременного выполнения двух заказов требует обоснования.
Одновременно выполнить заказ Иванова и Петрова нельзя (больше 120 стульев мастерская произвести не может).
Одновременно выполнить заказ Петрова и Сидорова тоже нельзя. Предположим, что мастерская взялась бы за этот заказ, тогда 28 столов нужно изготовить силами старшего и среднего брата: средний брат сделает 10 столов, и 18 столов сделает старший брат. Стулья будет делать средний брат – 40 стульев в составе комплектов и младший брат – 40 стульев, старший же брат может сделать только (40-36)=4 стула, так как для него альтернативная стоимость 18 столов равна 18∙2=36 стульев. Итак, при производстве 28 столов мастерская максимально может изготовить только (40+40+4)=84 стула, а это меньше требуемых 86, т.е. полностью выполнить эти два заказа нельзя.
А вот одновременно выполнить заказ Иванова и Сидорова можно (при производстве 13 столов мастерская максимально может изготовить ровно 114 стульев). При этом средний брат делает 10 столов и 40 стульев, младший брат делает только стулья (40 штук) Старший брат изготавливает еще 3 стола, а так как альтернативная стоимость 1 стола для него равна 2-м стульям, то изготовив 3 стола он «потерял» возможность изготовить (3∙2)=6 стульев, а значит он может изготовить всего 34 стула (40-6=34).
Специализация братьев при выполнении парного заказа (заказ Иванова+заказ Сидорова) показана в таблице.

На графике показано, что парный заказ Петрова и Сидорова действительно выполнить нельзя (на его выполнение не хватает ресурсов), а заказ Иванова и Сидорова – можно, при этом ресурсы мастерской используются полностью.

Примечание. Оценку возможности выполнения парных заказов можно произвести, определив уравнение прямой линии, проходящей через точки C и D. Координаты этих точек известны: у точки С (80, 30), у точки D (120, 10). Легко вывести уравнение прямой, проходящей через эти две точки, используя следующее соотношение: $frac{Y-Y_D}{X-X_D}=frac{Y_C-Y_D}{X_C-X_D}$.
Подставив соответствующие значения координат точек C и D, получаем $ frac{Y-10}{X-120}=frac{30-10}{80-120}$.
Это соотношение позволяет найти нужное нам уравнение прямой линии Y=70-0.5X

Примечание:

Критерии оценивания
а) Показано на графике множество производственных возможностей мастерской – 8 баллов.
Дано обоснование построения множества производственных возможностей мастерской – 7 баллов
б) Рассмотрены все возможности выполнения парных заказов – 6 баллов (по 2 балла за каждый парный заказ).
Указано, чем занимается каждый из братьев при выполнении парного заказа (заказ Иванова+заказ Сидорова) и даны соответствующие пояснения – 3 балла
Показана на графике точка, соответствующая выбору мастеров принятого парного заказа (заказ Иванова+заказ Сидорова) – 1 балл

Все задачи этой олимпиады

11-й класс

столы стулья
Старший брат
Средний брат
Младший брат нет
ВСЕГО
Задача Баллы
Аннуитет Ерофея (advanced)
Жюльен из мухоморов — 2
Молодильные яблоки
Счастливые часы

7-8 класс

Задача Баллы
Аннуитет Ерофея
Квачи и метикалы
Непарные ботинки
Показометры

9-10 класс

Задача Баллы
Аннуитет Ерофея
Ассортимент при ограниченных финансовых возможностях
Мастерская «Столы & стулья»
Молодильные яблоки